対数ガンマ関数の級数展開

　ガンマ関数のテーラー展開を考える。このとき、ガンマ関数の微分の計算が必要となるが、素直に

とした場合、微分計算に堪えるガンマ関数の表現が

であって、ポリガンマ関数を用いてあらわしても

のように非常に複雑である。

　これに対し、対数ガンマであれば、

              …

となり、記述が簡便になる。ならばこれを用いて対数ガンマをテーラー展開すれば、

であり、ここで特にポリガンマ関数とゼータ関数は、

のように結び付けられるので、

であるが、この級数は収束が遅いので、さらに変形して：

　以下に、の範囲で対数ガンマを級数近似することによって求められる係数と、これより求められるリーマンゼータ関数の近似値を示す。用いた対数ガンマの値はこちらに示す。

Prepared: 20150503

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